Основные понятия.

Момент силы относительно оси вращения – это векторное призведение радиус-вектора на силу.

Момент силы – это вектор, направление которого определяется по правилу буравчика (правого винта) в зависимости от направления силы, действующей на тело. Момент силы направлен вдоль оси вращения и не имеет конкретной точки приложения.

Численное значение данного вектора определяется по формуле:

M=r×F × sina (1.15),

где a- угол между радиус-вектором и направлением действия силы.

Если a=0 или p , момент силы М=0 , т.е. сила, проходящяя через ось вращения или совпадающяя с ней, вращения не вызывает.

Наибольший по модулю вращающий момент создается, если сила действует под углом a=p/2 (М > 0) или a=3p/2 (М < 0).

Используя понятие плеча силы (плечо силы d – это перпендикуляр, опущенный из центра вращения на линию действия силы), формула момента силы принимает вид:

Где (1.16)

Правило моментов сил (условие равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения):

Для того, чтобы тело, имеющее неподвижную ось вращения, находилось в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил, действующих на данное тело, равнялась нулю.

S М i =0 (1.17)

Единицей измерения момента силы в системе СИ является [Н×м]

При вращательном движении инертность тела зависит не только от его массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси вращения.

Инертность при вращении характеризуется моментом инерциитела относительно оси вращения J.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения – это величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси вращения:

J i =m i × r i 2 (1.18)

Моментом инерции тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:

J=S m i × r i 2 (1.19)

Момент инерции тела зависит от его массы и формы, а также от выбора оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно некоторой оси используется теорема Штейнера-Гюйгенса:

J=J 0 +m× d 2 (1.20),

где J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через цент масс тела, d – расстояние между двумя параллельными осями. Момент инерции в СИ измеряется в [кг×м 2 ]

Момент инерции при вращательном движении туловища человека определяют опытным путем и рассчитывают приблизительно по формулам для цилиндра, круглого стержня или шара.

Момент инерции человека относительно вертикальной оси вращения, которая проходит через центр масс (центр масс тела человека находится в сагиттальной плоскости немного впереди второго крестцового позвонка), в зависимости от положения человека, имеет следующие значения: при стойке “смирно” – 1,2 кг×м 2 ; при позе «арабеск» – 8 кг×м 2 ; в горизонтальном положении – 17 кг× м 2 .

Работа во вращательном движении совершается при вращении тела под действием внешних сил.

Элементарная работа силы во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела:

dA i =M i × dj (1.21)

Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа равнодействующей всех приложенных сил определяется по формуле:

dA=M× dj (1.22),

где М – суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело.

Кинетическая энергия вращающегося тела W к зависит от момента инерции тела и угловой скорости его вращения:

Момент импульса (момент количества движения) – величина, численно равная произведению импульса тела на радиус вращения.

L=p× r=m× V× r (1.24).

После соответствующих преобразований можно записать формулу для определения момента импульса в виде:

(1.25).

Момент импульса – вектор, направление которого определяется по правилу правого винта. Единицей измерения момента импульса в СИ является [кг×м 2 /с]

Основные законы динамики вращательного движения.

Основное уравнение динамики вращательного движения:

Угловое ускорение тела, совершающего вращательное движение, прямо пропорционально суммарному моменту всех внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела.

(1.26).

Данное уравнение играет ту же роль при описании вращательного движения, что и второй закон Ньютона для поступательного движения. Из уравнения видно, что при действии внешних сил угловое ускорение тем больше, чем меньше момент инерции тела.

Второй закон Ньютона для динамики вращательного движения можно записать в ином виде:

(1.27),

т.е. первая производная от момента импульса тела по времени равна суммарному моменту всех внешних сил, действующих на данное тело.

Закон сохранения момента импульса тела:

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, т.е.

S M i =0 , тогда dL/dt=0 (1.28).

Из этого следует или (1.29).

Это утверждение составляет сущность закона сохранения момента импульса тела, который формулируется следующим образом:

Момент импульса тела остается постоянным, если суммарный момент внешних сил, действующих на вращающееся тело, равен нулю.

Этот закон является справедливым не только для абсолютно твердого тела. Примером является фигурист, который выполняет вращение вокруг вертикальной оси. Прижимая руки, фигурист уменьшает момент инерции и увеличивает угловую скорость. Чтобы затормозить вращения, он, наоборот, широко разводит руки; в результате момент инерции увеличивается, и угловая скорость вращения уменьшается.

В заключение приведем сравнительную таблицу основных величин и законов, характеризующих динамику поступательного и вращательного движений.

Таблица 1.4.

Поступательное движение	Вращательное движение
Физическая величина	Формула	Физическая величина	Формула
Масса	m	Момент инерции	J=m×r 2
Сила	F	Момент силы	M=F×r, если
Импульс тела (количество движения)	p=m×V	Момент импульса тела	L=m×V×r; L=J×w
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия
Механическая работа	dA=FdS	Механическая работа	dA=Mdj
Основное уравнение динамики поступательного движения		Основное уравнение динамики вращательного движения	,
Закон сохранения импульса тела	или если	Закон сохранения момента импульса тела	или SJ i w i =const, если

Центрифугирование.

Разделение неоднородных систем, состоящих из частиц различной плотности, может быть произведено под действием силы тяжести и силы Архимеда (выталкивающей силы). Если есть водная суспензия частиц различной плотности, то на них действует результирующая сила

F р =F т – F А =r 1 ×V×g - r×V×g , т.е

F р =(r 1 - r)× V×g (1.30)

где V – объем частицы, r 1 и r – соответственно плотности вещества частицы и воды. Если плотности незначительно отличаются друг от друга, то результирующая сила мала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. Поэтому используют принудительное разделение частиц за счет вращения разделяемой среды.

Центрифугированием называется процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, смесей или взвесей, состоящих из частиц различной массы, происходящий под действием центробежной силы инерции.

Основу центрифуги составляет ротор с гнездами для пробирок, расположенный в закрытом корпусе, который приводится во вращение электродвигателем. При вращении с достаточно высокой скоростью ротора центрифуги частицы взвеси, различные по масссе, под действием центробежной силы инерции распределяются слоями на различной глубине, а наиболее тяжелые осаждаются на дне пробирки.

Можно показать, что сила, под действием которой происходит сепарация, определяется по формуле:

(1.31)

где w - угловая скорость вращения центрифуги, r – расстояние от оси вращения. Эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения.

Ультрацентрифуги, работающие при скорости вращения ротора порядка 10 5 –10 6 оборотов в минуту, способны разделить частицы размером менее 100нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях.

С помощью ультрацентрифугирования можно разделить клетки на органеллы и макромолекулы. Вначале оседают (седиментируют) более крупные части (ядра, цитоскелет). При дальнейшем увеличении скорости центрифугирования последовательно оседают более мелкие частицы – сначала митохондрии, лизосомы, затем микросомы и, наконец, рибосомы и крупные макромолекулы. При центрифугировании различные фракции оседают с различной скоростью, образуя в пробирке отдельные полосы, которые можно выделить и исследовать. Фракционированные клеточные экстракты (бесклеточные системы) широко используют для изучения внутриклеточных процессов, например для изучения биосинтеза белка, расшифровки генетического кода.

Для стерилизации наконечников в стоматологии используется масляный стерилизатор с центрифугой, с помощью которой удаляется излишнее масло.

Центрифугирование можно использовать для осаждения частиц, взвешенных в моче; отделения форменных элементов от плазмы крови; разделения биополимеров, вирусов и субклеточных структур; контроля за чистотой препарата.

Задания для самоконтроля знаний.

Задание1 . Вопросы для самоконтроля.

Чем отличается равномерное движение по окружности от равномерного прямолинейного движения? При каком условии тело будет двигаться равномерно по окружности?

Объясните причину того, что равномерное движение по окружности происходит с ускорением.

Может ли криволинейное движение происходить без ускорения?

При каком условии момент силы равен нулю? принимает наибольшее значение?

Укажите границы применимости закона сохранения импульса, момента импульса.

Укажите особенности сепарации под действием силы тяжести.

Почему разделение белков с различными молекулярными массами можно проводить при помощи центрифугирования, а метод фракционной перегонки оказывается неприемлемым?

Задание 2 . Тесты для самоконтроля.

Вставьте пропущенное слово:

Изменение знака угловой скорости свидетельствует об изменении_ _ _ _ _ вращательного движения.

Изменение знака углового ускорения свидетельствует об изменении_ _ _ вращательного движения

Угловая скорость равна _ _ _ _ _производной угла поворота радиус-вектора по времени.

Угловое ускорение равно _ _ _ _ _ _производной угла поворота радиус-вектора по времени.

Момент силы равен_ _ _ _ _, если направление действующей на тело силы совпадает с осью вращения.

Найдите правильный ответ:

Момент силы зависит только от точки приложения силы.

Момент инерции тела зависит только от массы тела.

Равномерное движение по окружности происходит без ускорения.

А. Правильно. В. Неправильно.

Скалярними являются все перечисленные величины, за исключением

А. момента силы;

В. механической работы;

С. потенциальной энергии;

Д. момента инерции.

Векторными величинами являются

А. угловая скорость;

В. угловое ускорение;

С. момент силы;

Д. момент импульса.

Ответы : 1 – направления; 2 – характера; 3 – первой; 4 – второй; 5 – нулю; 6 – В; 7 – В; 8 – В; 9 – А; 10 – А, В, С, Д.

Задание 3 . Получите связь между единицами измерения:

линейной скорости см/мин и м/с;

углового ускорения рад/мин 2 и рад/с 2 ;

момента силы кН×см и Н×м;

импульса тела г×см/с и кг×м/с;

момента инерции г×см 2 и кг×м 2 .

Задание 4 . Задачи медико-биологического содержания.

Задача №1. Почему в полетной фазе прыжка спортсмен не может никакими движениями изменить траекторию движения центра тяжести тела? Совершают ли мышцы спортсмена работу при изменении положения частей тела в пространстве?

Ответ: Движениями в свободном полете по параболе спортсмен может только изменять расположение тела и его отдельных частей относительно своего центра тяжести, который в данном случае является центром вращения. Спортсмен совершает работу по изменению кинетической энергии вращения тела.

Задача №2. Какую среднюю мощность развивает человек при ходьбе, если продолжительность шага 0,5с? Считать, что работа затрачивается на ускорение и замедление нижних конечностей. Угловое перемещение ног около Dj=30 о. Момент инерции нижней конечности равен 1,7кг× м 2 . Движение ног рассматривать как равнопеременное вращательное.

Решение:

1)Запишем краткое условие задачи: Dt= 0,5с; Dj =30 0 =p/ 6; I =1,7кг× м 2

2) Определим работу за один шаг (правая и левая нога): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .

Используя формулу средней угловой скорости w ср =Dj/Dt, получим: w= 2w ср = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Подставим числовые значения: N =4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(Вт)

Ответ: 14,9 Вт.

Задача №3. Какова роль движения рук при ходьбе?

Ответ : Движение ног, перемещающихся в двух параллельных плоскостях, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, создает момент сил, стремящийся повернуть корпус человека вокруг вертикальной оси. Руками человек размахивает «навстречу» движению ног, создавая тем самым момент сил противоположного знака.

Задача №4. Одним из направлений усовершенствования бормашин, применяемых в стоматологии, является увеличение скорости вращения бора. Скорость вращения борного наконечника в ножных бормашинах составляет 1500 оборотов в минуту, в стационарных электробормашинах – 4000 об/мин, в турбинных бормашинах – уже достигает 300000 об/мин. Зачем разрабатываются новые модификации бормашин с большим числом оборотов в единицу времени?

Ответ: Дентин в несколько тысяч раз более восприимчив к болевым ощущениям, чем кожа: на 1мм 2 кожи приходится 1-2 болевые точки, а на 1мм 2 дентина резцов – до 30000 болевых точек. Увеличение числа оборотов по данным физиологов уменьшает боль при обработке кариозной полости.

Задание 5 . Заполните таблицы:

Таблица №1 . Проведите аналогию между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения и укажите связь между ними.

Таблица №2.

Задание 6. Заполните ориентировочную карту действия:

Основные задания	Указания	Ответы
Для чего в начальной стадии исполнения сальто гимнаст сгинает колени и прижимает их к груди, а в конце вращения выпрямляет тело?	Используйте для анализа процесса понятие момента импульса и закон сохранения момента импульса.
Объясните, почему стоять на цыпочках (или держать тяжелый груз) так тяжело?	Рассмотрите условия равновесия сил и их моментов.
Как изменится угловое ускорение при увеличении момента инерции тела?	Проанализируйте основное уравнение динамики вращательного движения.
Как зависит эффект центрифугирования от разности в плотностях жидкости и частиц, которые сепарируются?	Рассмотрите силы, действующие при центрифугировании и соотношения между ними

Глава 2. Основы биомеханики.

Вопросы.

Рычаги и сочленения в опорно-двигательном аппарате человека. Понятие о степенях свободы.

Виды сокращения мышц. Основные физические величины, описывающие мышечные сокращения.

Принципы двигательной регуляции у человека.

Методы и приборы для измерения биомеханических характеристик.

2.1. Рычаги и сочленения в опорно-двигательном аппарате человека.

Анатомия и физиология двигательного аппарата человека обладают следующими особенностями, которые необходимо учитывать при биомеханических расчетах: движения тела определяются не только мышечными силами, но и внешними силами реакции, силой тяжести, инерционными силами, а также упругими силами и трением; структура двигательного аппарата допускает исключительно вращательные движения. С помощью анализа кинематических цепей поступательные движения могут быть сведены к вращательным движениям в суставах; движения управляются с помощью очень сложного кибернетического механизма, так что происходит постоянное изменение ускорений.

Опорно-двигательный аппарат человека состоит из сочлененных между собой костей скелета, к которым в определенных точках прикрепляются мышцы. Кости скелета действуют как рычаги, которые имеют точку опоры в сочленениях и приводятся в движение силой тяги, возникающей при сокращении мышц. Различают три вида рычага :

1) Рычаг, к которому действующая сила F и сила сопротивления R приложены по разные стороны от точки опоры. Примером такого рычага является череп, рассматриваемый в сагиттальной плоскости.

2) Рычаг, у которого действующая сила F и сила сопротивления R приложены по одну сторону от точки опоры, причем, сила F приложена к концу рычага, а сила R - ближе к точке опоры. Данный рычаг дает выигрыш в силе и проигрыш в расстоянии, т.е. является рычагом силы . Пример - действие свода стопы при подъеме на полупальцы, рычаги челюстно-лицевого отдела (рис. 2.1). Движения жевательного аппарата очень сложны. При закрывании рта поднимание нижней челюсти из положения максимального опускания до положения полного смыкания ее зубов с зубами верхней челюсти осуществляется движением мышц, поднимающих нижнюю челюсть. Эти мышцы действуют на нижнюю челюсть как на рычаг второго рода с точкой опоры в суставе (дающий выигрыш при жевании в силе).

3) Рычаг, у которого действующая сила приложена ближе к точке опоры, чем сила сопротивления. Данный рычаг является рычагом скорости , т.к. дает проигрыш в силе, но выигрыш в перемещении. Пример - кости предплечья.

Рис. 2.1. Рычаги челюстно-лицевого отдела и свода стопы.

Большинство костей скелета находится под действием нескольких мышц, развивающих усилия по различным направлениям. Равнодействующая их находится путем геометрического сложения по правилу параллелограмма.

Кости опорно-двигательного аппарата соединяются между собой в сочленениях или суставах. Концы костей, образующих сустав, удерживаются вместе с помощью плотно охватывающей их суставной сумки, а также прикрепленных к костям связок. Для уменьшения трения соприкасающиеся поверхности костей покрыты гладким хрящом и между ними имеется тонкий слой клейкой жидкости.

Первой ступенью биомеханического анализа двигательных процессов является определение их кинематики. На основе такого анализа строятся абстрактные кинематические цепи, подвижность или устойчивость которых может быть проверена исходя из геометрических соображений. Различают замкнутые и разомкнутые кинематические цепи, образуемые суставами и расположенными между ними жесткими звеньями.

Состояние свободной материальной точки в трехмерном пространстве задается тремя независимыми координатами – х, y, z . Независимые переменные, которые характеризуют состояние механической системы, называются степенями свободы . У более сложных систем количество степеней свободы может быть выше. Вообще, количество степеней свободы определяет не только количество независимых переменных (что характеризует состояние механической системы), но и количество независимых перемещений системы.

Число степеней свободы является основной механической характеристикой сустава, т.е. определяет число осей , вокруг которых возможно взаимное вращение сочленненых костей. Обусловлено оно главным образом геометрической формой поверхности костей, соприкасающихся в суставе.

Максимальное число степеней свободы в суставах – 3.

Примерами одноосного (плоского) сочленения в организме человека являются плечелоктевое, надпяточное и фаланговые соединения. Они допускают только возможность сгибания и разгибания с одной степенью свободы. Так, локтевая кость с помощью полукруглой выемки охватывает цилиндрический выступ на плечевой кости, который и служит осью сустава. Движения в суставе – сгибание и разгибание в плоскости, перпендикулярной оси сустава.

Лучезапястный сустав, в котором осуществляется сгибание и разгибание, а также приведение и отведение, можно отнести к суставам с двумя степенями свободы.

К суставам с тремя степенями свободы (пространственное сочленение) относятся тазобедренное и лопаточно-плечевое сочленение. Например, в лопаточно-плечевом сочленении шаровидная головка плечевой кости входит в сферическую впадину выступа лопатки. Движения в суставе – сгибание и разгибание (в сагиттальной плоскости), приведение и отведение (в фронтальной плоскости) и вращение конечности вокруг продольной оси.

Замкнутые плоские кинематические цепи обладают числом степеней свободы f F , которое вычисляется по числу звеньев n следующим образом:

Ситуация для кинематических цепей в пространстве более сложная. Здесь выполняется соотношение

(2.2)

гдеf i - число ограничений степеней свободы i- го звена.

В любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без любых специальных устройств. Они имеют название свободные оси вращения

А)Общественно-политические движения в России во второй половине XIX в. зарождение политических партий в России и их программы

Александр Лоуэн ПРЕДАТЕЛЬСТВО ТЕЛА. сгибая их в коленях. Я всегда сталкивался с тем, что шизоиды, выполняя эти движения, напрягают живот и задерживают дыхание

Момент силы

Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силы относительно какой-либо точки называется векторное произведение

Радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.2.12). Единица измерения момента силы .

Рисунок 2.12

Величина момента силы

,

или можно записать

где - плечо силы (кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы).

Направление вектора определяется по правилу векторного произведения или по правилу «правого винта» (векторы и параллельным переносом совмещаем в точке О, направление вектора определяется так, чтобы из его конца поворот от вектора к был виден против часовой стрелки – на рис 2.12 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа «от нас» (аналогично по правилу буравчика – поступательное движение соответствует направлению вектора , вращательное соответствует повороту от к )).

Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.

Проекция вектора на какую-либо ось, например, ось z, называется моментом силы относительно этой оси. Чтобы определить момент силы относительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис. 2.13), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Рисунок 2.13

Момент импульса

Моментомимпульса материальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета , называют векторное произведение

,

Радиус-вектор материальной точки (рис. 2.14), - ее импульс.

Рисунок 2.14

Величина момента импульса материальной точки

,

где -кратчайшее расстояние от линии вектора до точки .

Направление момента импульса определяется аналогично направлению момента силы.

Если выражение для L 0 умножить и разделить на l получим:

Где - момент инерции материальной точки - аналог массы во вращательном движении.

- угловая скорость.

Момент инерции твердого тела

Видно, что получающиеся формулы очень похожи на выражения для импульса и для второго закона Ньютона соответственно, только вместо линейной скорости и ускорения используются угловые скорость и ускорение, а вместо массы – величина I=mR 2 , именуемая моментом инерции материальной точки .

Если тело нельзя считать материальной точкой, но можно считать абсолютно твердым, то его момент инерции можно считать суммой моментов инерции бесконечно малых его частей, поскольку угловые скорости вращения этих частей одинаковы (рис. 2.16). Сумма бесконечно малых – интеграл:

Для любого тела существуют оси, проходящие через его центр инерции, обладающие таким свойством: при вращении тела вокруг таких осей в отсутствии внешних воздействий оси вращения не меняют своего положения. Такие оси называются свободными осями тела . Можно доказать, что для тела любой формы и с любым распределением плотности существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, именуемые главными осями инерции тела. Моменты инерции тела относительно главных осей именуются главными (собственными) моментами инерции тела.

Главные моменты инерции некоторых тел приведены в табл.:

Теорема Гюйгенса-Штейнера.

.

Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями .

Основное уравнение динамики вращательного движения

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

Где F – сила, приложенная к телу массой m ; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 2.15) приложить силу F , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение ε и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила F 1 …F n . Для каждой материальной точки можно записать:

Где поэтому

Где m i – масса i- й точки; ε – угловое ускорение; r i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения на r i , получаем

Где – момент силы – это произведение силы на ее плечо.

Динамика вращательного движения

Основания и фундаменты рассчитывают по 2 предельным состояниям

	По несущей способности:	N – заданная расчетная нагрузка на основание в наиболее невыгодной комбинации; - несущая способность (предельная нагрузка) основания для данного направления нагрузки N ; - коэффициент условий работы основания (<1); - коэффициент надежности (>1).
	По предельным деформациям:	- расчетная абсолютная осадка фундамента; - расчетная относительная разность осадок фундаментов; , - предельные величины, соответственно абсолютной и относительной разности осадок фундаментов (СНиП 2.02.01-83*)

Динамика вращательного движения

Предисловие

Обращаю внимание студентов на то, что ЭТОТ материал в школе не рассматривался АБСОЛЮТНО (кроме понятия момента силы).

1. Закон динамики вращательного движения

a. Закон динамики вращательного движения

b. Момент силы

c. Момент пары сил

d. Момент инерции

2. Моменты инерции некоторых тел:

a. Кольцо (тонкостенный цилиндр)

b. Толстостенный цилиндр

c. Сплошной цилиндр

e. Тонкий стержень

3. Теорема Штейнера

4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса

5. Работа при вращательном движении

6. Кинетическая энергия вращения

7. Сопоставление величин и законов для поступательного и вращательного движения

1a. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси ОО (рис.3.1). Разобьем это твердое тело на отдельные элементарные массы Δm i . Равнодействующую всех сил, приложенных к Δm i , обозначим через . Достаточно рассмотреть случай, когда сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения: составляющие сил, параллельные оси, не могут влиять на вращение тела, так как ось закреплена. Тогда уравнение второго закона Ньютона для касательных составляющих силы и ускорения запишется в виде:

. (3.1)

Нормальная составляющая силы обеспечивает центростремительное ускорение и на угловое ускорение не влияет. Из (1.27): ,где – радиус вращения i -той точки. Тогда

. (3.2)

Умножим обе части (3.2) на :

Заметим, что

где α – угол между вектором силы и радиус-вектором точки (рис.3.1), – перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из центра вращения (плечо силы). Введём понятие момента силы .

1b. Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: . Плечо силы l относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения. Размерность момента силы:

В векторной форме момент силы относительно точки:

Вектор момента силы перпендикулярен и силе, и радиус-вектору точки её приложения:

Если вектор силы перпендикулярен оси, то вектор момента силы направлен по оси по правилу правого винта, а величина момента силы относительно этой оси (проекция на ось) определяется формулой (3.4):

Момент силы зависит и от величины силы, и от плеча силы. Если сила параллельна оси, то .

1c. Пара сил – это две равные по величине и противоположные по направлению силы, линии действия которых не совпадают (рис.3.2). Плечо пары сил – это расстояние между линиями действия сил. Найдём суммарный момент пары сил и () в проекции на ось, проходящую через точку О:

То есть момент пары сил равен произведению величины силы на плкчо пары:

. (3.6)

Вернёмся к (3.3). С учётом (3.4) и (3.6):

. (3.7)

1d. Определение: скалярная величина , равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси ОО:

Размерность момента инерции

Векторы и совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (3.9) можно переписать в векторной форме:

. (3.10)

Просуммируем (3.10) по всем элементарным массам, на которые разбито тело:

. (3.11)

Здесь учтено, что угловое ускорение всех точек твердого тела одинаково, и его можно вынести за знак суммы. В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (3.11) остается суммарный момент только внешних сил: .

Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:

. (3.12)

Таким образом, ; – это и есть основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела (аналог второго закона Ньютона ): угловое ускорение тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела :

. (3.13)

Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси).

В случае непрерывного распределения массы сумма в (3.12) сводится к интегралу по всему объему тела:

2a. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца.

,

поскольку для любого элемента кольца его расстояние до оси одинаково и равно радиусу кольца: .

2b. Толстостенный цилиндр (диск) с внутренним радиусом и внешним радиусом .

Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ , высотой h, внутренним радиусом и внешним радиусом (рис.3.3) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной и высотой так, что внутренний радиус кольца равен , внешний – . Объем такого кольца , где – площадь основания тонкого кольца. Его масса:

Подставим в (3.14) и проинтегрируем по r ():

Масса диска , тогда окончательно:

. (3.17)

2c. Сплошной цилиндр (диск).

В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (3.17) R 1 =0, R 2 =R и получим:

. (3.18)

Момент инерции шара радиуса R и массой относительно оси, проходящей через его центр (рис.3.4), равен (без доказательства):

2e. Момент инерции тонкого стержня массой и длиной относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню (рис.3.5).

Стержень разобьём на бесконечно малые участки длиной . Масса такого участка . Подставим в (3.14) и проинтегрируем от 0 до :

Если ось проходит через центр стержня перпендикулярно ему, можно рассчитать момент инерции половины стержня по (3.20) и затем удвоить:

. (3.21)

3. Если ось вращения не проходит через центр масс тела (рис.3.6), вычисления по формуле (3.14) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I c тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

. (3.22)

Посмотрим, как работает теорема Штейнера, если применить её к стержню:

Нетрудно убедиться, что получилось тождество, поскольку в этом случае расстояние между осями равно половине длины стержня .

4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса.

Из закона динамики вращательного движения и определения углового ускорения следует:

.

Если , то . Введём момент импульса твёрдого тела как

Соотношение (3.24) – это основной закон динамики твёрдого тела для вращательного движения. Его можно переписать так:

и тогда это будет аналог второго закона Ньютона для поступательного движения в импульсной форме (2.5)

Выражение (3.24) можно проинтегрировать:

и сформулировать закон изменения момента импульса: изменение момента импульса тела равно импульсу суммарного момента внешних сил . Величина называется импульсом момента силы и аналогична импульсу силы в формулировке второго закона Ньютона для поступательного движения (2.2) ; момент импульса является аналогом импульса .

Размерность момента импульса

Момент импульса твёрдого тела относительно его оси вращения – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика.

Момент импульса материальной точки относительно точки О (рис.3.6) – это:

где – радиус-вектор материальной точки, – её импульс. Вектор момента импульса направлен по правилу буравчика перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и : на рис.3.7 – к нам из-за рисунка. Величина момента импульса

Твёрдое тело, вращающееся относительно оси, разобьём на элементарные массы и просуммируем по всему телу моменты импульса каждой массы (то же самое можно записать в виде интеграла; это непринципиально):

.

Поскольку угловая скорость всех точек одинакова и направлена по оси вращения, то можно записать в векторной форме:

Таким образом, доказана эквивалентность определений (3.23) и (3.26).

Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы не изменяется (см.3.25):

. Это закон сохранения момента импульса . Это возможно, когда:

а) система замкнута (или );

б) у внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось/центр вращения);

в) внешние силы параллельны закреплённой оси вращения.

Примеры использования/действия закона сохранения момента импульса:

1. гироскоп;

2. скамья Жуковского;

3. фигуристка на льду.

5. Работа при вращательном движении.

Пусть тело повернулось на угол под действием силы и угол между перемещением и силой равен ; – радиус-вектор точки приложения силы (рис.3.8), тогда работа силы равна.

Для выяснения назначения приведенных выше понятий рассмотрим систему из двух материальных точек (частиц) и затем обобщим результат на систему из произвольного числа частиц (т.е. на твердое тело). Пусть на частицы с массами m 1 , m 2 , импульсы которых p 1 и p 2 , действуют внешние силы F 1 и F 2 . Частицы также взаимодействуют друг с другом внутренними силами f 12 и f 21 .

Запишем второй закон Ньютона для каждой из частиц, а также вытекающую из третьего закона Ньютона связь между внутренними силами:

, (1)

, (2)

. (3)

Умножим векторно уравнение (1) на r 1 , а уравнение (2) – на r 2 и сложим полученные выражения:

Преобразуем левые части уравнения (4), учитывая что

, i=1, 2.

Векторы и
параллельны и их векторное произведение равно нулю, поэтому можно записать

. (5)

Первые два слагаемых справа в (4) равны нулю, т.е.

поскольку f 21 =- f 12 , а векторr 1 -r 2 направлен по одной и той же прямой, что и вектор f 12 .

Учитывая (5)и (6) из (4) получим

или

, (7)

где L = L 1 + L 2 ; M = M 1 + M 2 . Обобщая результат на систему из n частиц, мы можем записать L = L 1 + L 2 +…+L n = M = M 1 + M 2 + M n =

Уравнение (7) является математической записью основного закона динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы равна сумме действующих на нее моментов внешних сил. Этот закон справедлив относительно любой неподвижной или движущейся с постоянной скоростью точки в инерциальной системе отсчета. Отсюда же следует закон сохранения момента импульса : если момент внешних сил M равен нулю, то момент импульса системы сохраняется (L =const).

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси.

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z. Твердое тело можно представить как систему из n материальных точек (частиц). При вращении некоторая рассматриваемая точка тела (обозначим ее индексом i, причем i=1…n) движется по окружности постоянного радиуса R i с линейной скоростью v i вокруг оси z (рис.4).

Ее скорость v i и импульс m i v i перпендикулярны радиусу R i . Поэтому модуль момента импульса частицы тела относительно точки О, расположенной на оси вращения:

,

где r i – радиус- вектор, проведенный от точки О к частице.

Используя связь между линейной и угловой скоростью v i =R i , где R i –расстояние частицы от оси вращения, получим

.

Проекция этого вектора на ось вращения z, т.е. момент импульса частицы тела относительно оси z будет равна:

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов всех частей тела:

.

Величина I z , равная сумме произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний до оси z, называется моментом инерции тела относительно данной оси:

. (8)

Из выражения (8) следует, что момент импульса тела не зависит от положения точки О на оси вращения, поэтому говорят о моменте импульса тела относительно некоторой оси вращения, а не относительно точки

Между формулировками основного закона вращательного движения, определениями момента импульса, силы существует схожесть с формулировками второго закона Ньютона и определениями импульса для поступательного движения.

1. Импульс момента силы, Mdt, действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса dL:
Mdt = d(J ω) или Mdt = dL
Где: Mdt – импульс момента силы (произведение момента силы М на промежуток времени dt)
Jdω = d(Jω) – изменение момента импульса тела,
Jω = L - момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скоростьω ω, а d(Jω) есть dL.

2. Кинематические характеристики Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом φ, измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью
ω = dφ/dt (измеряется в рад/с)
и угловым ускорением
ε = d²φ/dt² (измеряется в рад/с²).
При равномерном вращении (T оборотов в секунду), Частота вращения - число оборотов тела в единицу времени:
f = 1/T = ω/2
Период вращения - время одного полного оборота. Период вращения T и его частота f связаны соотношением
T = 1/f

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

Угловая скорость вращения тела
ω = f/Dt = 2/T

Динамические характеристики Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергии вращения можно записать в виде:
E=

В этой формуле момент инерции играет роль массы, а угловая скорость роль обычной скорости. Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из формулы:

Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») - физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
= ∑

Где: mi - масса i-й точки, ri - расстояние от i-й точки до оси. Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

3. Маятник представляет собой замкнутую систему.
Если маятник находится в крайней точке, его потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю.
Как только маятник начинает двигаться, егопотенциальная энергия уменьшается, а кинетическая - увеличивается.
В нижней точке кинетическая энергия максимальна, а потенциальная - минимальна. После этого начинается обратный процесс. Накопленная кинетическая энергия двигает маятник вверх и увеличивает, тем самым потенциальную энергию маятника. Кинетическая энергия уменьшается, пока маятник снова не остановится уже в другой крайней точке.
Можно сказать, что в процессе движения маятника происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается постоянной.
Или так: Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.
(Сумма кинетической и потенциальной энергии тел называется полной механической энергией)